Question

已知函數f(x)=2cos2x+

3

sin2x+a(a∈R)．
（1）若x∈R，求f（x）的單調遞增區間；
（2）若x∈[0，

π

2

]時，f（x）的最大值為4，求a的值，并指出這時x的值．

Answer 1

分析：（1）先利用二倍角公式降冪，再利用輔助角公式化一角一函數，就可借助基本正弦函數的單調區間來求函數f（x）的單調遞增區間．
（2）由（1）可知函數f（x）=2sin(2x+

π

6

)+1+a，利用所給x的范圍，即可帶著參數a求出f（x）的最大值，再與所給最大值4比較，就可求出a的值．

解答：解：（1）f(x)=

3

sin2x+cos2x+1+a=2sin(2x+

π

6

)+1+a．
解不等式2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

．
得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

(k∈Z)
∴f（x）的單調增區間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)．
（2）∵x∈[0，

π

2

]，∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

．
∴當2x+

π

6

=

π

2

即x=

π

6

時，f（x）_max=3+a．
∵3+a=4，∴a=1，此時x=

π

6

．

點評：本題主要考查了正弦函數單調性，值域的判斷，屬于三角函數的常規題．