Question

【題目】設f（x）=（lnx）ln（1﹣x）．
（1）求函數y=f（x）的圖象在（ ，f（ ））處的切線方程；
（2）求函數y=f′（x）的零點．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）= ，

故f（ ）=ln2 ，f′（ ）=0，

故切線方程是：y=ln2

（2）解：由（1）得，令f′（x）=0，即（1﹣x）ln（1﹣x）﹣xlnx=0，

令h（x）=（1﹣x）ln（1﹣x）﹣xlnx，（0＜x＜1），

則h′（x）=lnx（1﹣x），h″（x）= ，

令h″（x）＞0，解得：0＜x＜ ，

令h″（x）＜0，解得：x＞ ，

故h′（x）在（0， ）遞增，在（ ，+∞）遞減，

故h′（x）＜h′（ ）=ln ＜0，

故h（x）在（0，1）遞減，

而h（ ）=0，

故h（x）在（0，1）的零點是x= ．

【解析】（1）求出函數的導數，計算f（ ），f′（ ），求出切線方程即可；（2）令f′（x）=0，即（1﹣x）ln（1﹣x）﹣xlnx=0，令h（x）=（1﹣x）ln（1﹣x）﹣xlnx，（0＜x＜1），根據函數的單調性求出函數的零點即可．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能正確解答此題．