Question

過橢圓

x2

3

+

y2

2

=1的右焦點F作傾斜角為

π

4

的直線與橢圓交于M，N兩點，O為坐標原點，則△OMN的面積為

2 6

5

．

Answer 1

分析：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則S=

1

2

|OF|•|y₁-y₂|．直線為y=x-1，代入橢圓方程，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系得到|y₁-y₂|，由此能求出△OPQ的面積．

解答：解：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則S=

1

2

|OF|•|y₁-y₂|．
因為橢圓的右焦點F（1，0），過橢圓的右焦點F（1，0），傾斜角為

π

4

的直線方程為y=x-1，
即x=1+y，代入

x2

3

+

y2

2

=1得5y²+4y-4=0，∴y₁+y₂=-

4

5

，y₁y₂=-

4

5

，
∴|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

(- 4 5 )2-4×(- 4 5 )

=

4 6

5

，
所以S=

1

2

|OF|•|y₁-y₂|=

1

2

×1×

4 6

5

=

2 6

5

．
故答案為：

2 6

5

．

點評：在涉及焦點弦的問題時常需要把直線與拋物線方程聯(lián)立利用韋達定理設(shè)而不求．考查學生的運算能力．