Question

已知雙曲線=1（a＞0，b＞0）的離心率為，右準(zhǔn)線方程為．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）已知直線x-y+m=0與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)在圓x²+y²=5上，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由離心率和準(zhǔn)線方程求的a和c，再根據(jù)b²=c²-a²求得b，進(jìn)而可得雙曲線的方程．
（Ⅱ）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），線段AB的中點(diǎn)為M（x，y），直線方程與雙曲線方程聯(lián)立根據(jù)韋達(dá)定理表示出x和y，把點(diǎn)M代入圓的方程氣的m．
解答：解：（Ⅰ）由題意，得，解得，
∴b²=c²-a²=2，
∴所求雙曲線C的方程為．

（Ⅱ）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），線段AB的中點(diǎn)為M（x，y），
由得x²-2mx-m²-2=0（判別式△＞0），
∴=m，y=x+m=2m，
∵點(diǎn)M（x，y）在圓x²+y²=5上，
∴m²+（2m）²=5，∴m=±1．
點(diǎn)評：本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運(yùn)算能力