Question

如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為AB的中點．
（1）證明：平面EB₁D⊥平面B₁CD；
（2）求二面角B₁-CD-E的大小；
（3）求點E到平面B₁CD的距離．

Answer 1

分析：（1）建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz．求出平面EB₁D的法向量

n

₁，和平面B₁CD的法向量

n

₂，根據兩個法向量的數量積為0，互相垂直，得到平面EB₁D⊥平面B₁CD；
（2）由（1）中平面B₁CD的法向量

n

₂，結合平面CDE的法向量

n

=（0，0，1），代入向量夾角公式，即可求出二面角B₁-CD-E的大小；
（3）由（1）中平面B₁CD的法向量

n

₂，代入點E到平面B₁CD的距離公式d=

| n2  • DE |

| n2  |

，可得點E到平面B₁CD的距離．

解答：證明：（1）建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz．
∵E（2，1，0），C（0，2，0），B₁（2，2，2）
∴

EB1

=(0， 1， 2)，

ED

=(-2， -1， 0)．
設平面EB₁D的法向量為

n

₁=（x，y，z），則

n1 • EB1 =0 n1 • ED =0

即

y+2z=0 -2x-y=0

，不妨取

n

₁=（1，-2，1）．
同理，平面B₁CD的法向量

n

₂=（-1，0，1）．…（3分）
∵

n

₁•

n

₂=-1+1=0，∴平面EB₁D⊥平面B₁CD．   …（4分）

（2）解由（1）得平面B₁CD的法向量

n

₂=（-1，0，1），
又平面CDE的法向量

n

=（0，0，1），∴cos＜

m

，

n

＞=

n2 • n

| n2 |•| n |

=

1

2 •1

=

2

2

…（7分）
∴二面角E-B₁C-D的大小為45°． …（8分）
（3）由（1）得平面B₁CD的法向量

n

₂=（-1，0，1），又

DE

=(2，1，0)
∴點E到平面B₁CD的距離為

| n 2• DE |

| n 2|

=

2

2

=

2

…（12分）
說明：采用其它方法進行解答的，按每小題（3分），根據作答情況酌情給分．

點評：本題考查的知識點是用空間向量表示平面間的夾角，點到平面之間的距離計算，向量語言表述面面垂直，平行關系，其中建立適當的空間直角坐標系，將空間點，線，面之間的關系問題轉化為向量問題是解答此類問題的關鍵．