Question

【題目】設定義在D上的函數y=h（x）在點P（x0 ， h（x0））處的切線方程為l：y=g（x），當x≠x0時，若 ＞0在D內恒成立，則稱P為函數y=h（x）的“類對稱點”，則f（x）=x2﹣6x+4lnx的“類對稱點”的橫坐標是（ ）
A.1
B.
C.e
D.

Answer 1

【答案】B
【解析】解：函數y=f（x）在其圖象上一點P（x0 ， f（x0））處的切線方程為：
y=g（x）=（2x0+ ﹣6）（x﹣x0）+x02﹣6x0+4lnx0 ，
設m（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣6x+4lnx﹣（2x0+ ﹣6）（x﹣x0）﹣x02+6x0﹣4lnx0 ，
則m（x0）=0．
m′（x）=2x+ ﹣6﹣（2x0+ ﹣6）=2（x﹣x0）（1﹣ ）= （x﹣x0）（x﹣ ）
若x0＜ ，m（x）在（x0 ， ）上單調遞減，
∴當x∈（x0 ， ）時，m（x）＜m（x0）=0，此時 ＜0；
若x0 ，φ（x）在（ ，x0）上單調遞減，
∴當x∈（ ，x0）時，m（x）＞m（x0）=0，此時 ＜0；
∴y=f（x）在（0， ）∪（ ，+∞）上不存在“類對稱點”．
若x0= ， （x﹣ ）2＞0，
∴m（x）在（0，+∞）上是增函數，
當x＞x0時，m（x）＞m（x0）=0，
當x＜x0時，m（x）＜m（x0）=0，故 ＞0．
即此時點P是y=f（x）的“類對稱點”
綜上，y=f（x）存在“類對稱點”， 是一個“類對稱點”的橫坐標．
故選B．