Question

已知偶函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，a]（a＞0）上滿(mǎn)足：對(duì)于兩個(gè)不等實(shí)數(shù)x，y總有

f(x)-f(y)

x-y

＞0成立且f（0）?f（a）＜0，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-a，a]內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（　　）

• A、3
• B、2
• C、1
• D、0

Answer 1

分析：根據(jù)條件即可得到函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)零點(diǎn)判斷方法即可得到函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答：解：∵在區(qū)間[0，a]（a＞0）上滿(mǎn)足：對(duì)于兩個(gè)不等實(shí)數(shù)x，y總有

f(x)-f(y)

x-y

＞0成立，
∴此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，即增區(qū)間為[0，a]，
∵f（x）是偶函數(shù)，
∴f（x）在[-a，0]上單調(diào)遞減．
∵f（0）•f（a）＜0，
∴根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)判斷方法可知在區(qū)間[0，a]上只存在一個(gè)零點(diǎn)，
∴在[-a，0]上也只存在一個(gè)零點(diǎn)，
即函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-a，a]內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2個(gè)．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，利用條件求出函數(shù)的單調(diào)性以及利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．