Question

已知圓C：（x+l）²+y²=8及點F（l，0），P為圓C上一動點，在同一坐標平面內的動點M滿足：

CM

∥

CP

，|

MF

|=|

MP

|．
（I）求動點M的軌跡E的方程；
（II）過點F作直線l與（I）中軌跡E交于不同兩點R、S，設

FR

=λ

FS

，λ∈[-2，-1)，求直線l 的縱截距的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據

CM

∥

CP

，|

MF

|=|

MP

|，可得動點M的軌跡E是以C，F為左、右焦點的橢圓，由此可得軌跡方程；
（II）①若直線l的斜率為0，不滿足；
②當直線l的斜率不為0時，設方程為x=ty+1，代入

x2

2

+y2=1，利用韋達定理，及

FR

=λ

FS

，即可求得結論．

解答：解：（I）由已知，圓C：（x+1）²+y²=8，則半徑為2

2

∵

CM

∥

CP

，|

MF

|=|

MP

|
∴C，M，P三點共線，且|MC|+|MF|=|MF|+|MP|=|FP|=2

2

∴動點M的軌跡E是以C，F為左、右焦點的橢圓，且2a=2

2

，c=1
∴動點M的軌跡E的方程為

x2

2

+y2=1；
（II）①若直線l的斜率為0，則R（-

2

，0），S（

2

，0），F（1，0），
∴

FR

=(-

2

-1，0)，

FS

=(

2

-1，0)
∴λ=-(3+2

2

)∉[-2，-1)，故直線l的縱截距不可能為0；
②當直線l的斜率不為0時，λ≠-1，設方程為x=ty+1（t≠0），代入

x2

2

+y2=1，可得（t²+2）y²+2ty-1=0
設R（x₁，y₁），S（x₂，y₂）（y₁≠0，y₂≠0），則y₁+y₂=-

2t

t2+2

，y₁y₂=-

1

t2+2

∵

FR

=λ

FS

，∴y₁=λy₂，∴λ=

y1

y2

，λ＜0
∴λ+

1

λ

+2=

y1

y2

+

y2

y1

+2=

(y1+y2)2

y1y2

=-

4t2

t2+2

∵λ∈[-2，-1]
∴-

1

2

≤λ+

1

λ

+2≤0
∴-

1

2

≤-

4t2

t2+2

≤0
∴0≤t²≤

2

7

∴0＜t≤

14

7

或-

14

7

≤t＜0
∴直線l的縱截距-

1

t

∈(-∞，-

14

2

]∪[

14

2

，+∞)．

點評：本題考查橢圓的定義，考查軌跡方程，考查向量知識的運用，考查韋達定理，考查學生的計算能力，綜合性強．