Question

已知點M，N分別在直線y=mx和y=-mx（m＞0）上運動，點P是線段MN的中點，且|MN|=2，動點P的軌跡是曲線C．
（1）求曲線C的方程，并討論方程所表示的曲線類型；
（2）設m=時，過點A（-，0）的直線l與曲線C恰有一個公共點，求直線l的斜率．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出動點的坐標，利用點P是線段MN的中點，且|MN|=2，可得曲線C的方程；對參數分類討論，即可得到所表示的曲線；
（2）將直線方程與橢圓方程聯立，利用過點A（-，0）的直線l與曲線C恰有一個公共點，可得判別式等于0，結論方程，即可求得直線l的斜率．
解答：解：（1）設P（x，y），M（x₁，mx₁），N（x₂，-mx₂），
依題意得，
消去x₁，x₂，整理得，
當m＞1時，方程表示焦點在y軸上的橢圓，
當0＜m＜1時，方程表示焦點在x軸上的橢圓，
當m=1時，方程表示圓．
（2）當m=時，方程為，
設直線l的方程為y=k（x+），與橢圓方程聯立，
消去y得（1+4k²）x²+k²x+-2=0，
根據已知可得△=0，
故有（k²）²-4（1+4k²）（-2）=0，k²=
∴直線l的斜率為k=±．
點評：本題考查軌跡方程的求解，考查曲線與方程之間的聯系，考查直線與橢圓的位置關系，解題的關鍵是將直線方程與橢圓方程聯立，利用判別式求解．