Question

設f（k）是滿足不等式log₂x+log₂（5•2^k-1-x）≥2k（k∈N^*）的自然數x的個數．
（1）求f（k）的函數解析式；
（2）S_n=f（1）+f（2）+…+f（n），求S_n；
（3）設P_n=2ⁿ⁺¹+n-3，由（2）中S_n及P_n構成函數T_n，Tn=

log2(Sn-Pn)

log2(Sn+1-Pn+1)-10.5

，求T_n的最小值與最大值．

Answer 1

分析：（1）、由log₂x+log₂（5•2^k-1-x）≥2k可知

x＞0 5•2k-1-x＞0 x(5•2k-1-x)≥22k-1

，解這個不等式組得到x的取值范圍后，就能求出f（k）的解析式；
（2）、由S_n=f（1）+f（2）+…+f（n）=3（1+2+2²+…+2^n-1）+n，利用等比數列求和公式，即可求得結果；
（3）將S_n及P_n代入函數T_n中，利用對數的運算性質對T_n化簡得到

n

n-9.5

，利用分子常數化，和反比例函數的單調性，即可求得T_n的最小值與最大值．

解答：解：（1）∵log₂x+log₂（5•2^k-1-x）≥2k，∴log₂（5•2^k-1x-x²）≥2k=log₂2^2k，
∴

x＞0 5•2k-1-x＞0 x(5•2k-1-x)≥22k

，
解得得2^k-1≤x≤4•2^k-1．
∴f（k）=4•2^k-1-2^k-1+1=3•2^k-1+1（k∈N^*）
（2）s_n=f（1）+f（2）+…+f（n）=3（2⁰+2¹+2²+…+2^n-1）+n
=

3(1-2n)

1-2

+n=3•2n+n-3；
（3）Tn=

log2(3•2n+n-3-2n+1-n+3)

log2(3•2n+1+n+1-3-2n+2-n-1+3)-10.5

=

n

n+1-10.5

=

n

n-9.5

=1+

9.5

n-9.5

，
則n=9時有最小值T₉=-18；n=10時有最大值T₁₀=20．

點評：本題考查對數的運算性質以及利用對數的單調性求解對數不等式，注意對數函數的定義域，和等比數列的求和公式，利用對數函數的單調性解對數不等式，求出函數的解析式是解題的關鍵，同時考查靈活應用知識分析解決問題的能力和運算能力，屬中檔題．