Question

（2012•鷹潭模擬）如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．點E、F分別在邊CD、CB上，點E與點C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF將△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．

（1）求證：BD⊥平面POA；
（2）當PB取得最小值時，求四棱錐P-BDEF的體積．

Answer 1

分析：（1）由菱形ABCD的對角線互相垂直，知BD⊥AC，BD⊥AO，由EF⊥AC，知PO⊥EF．由此能夠證明BD⊥平面POA．
（2）設AO∩BD=H．因為∠DAB=60°，所以△BDC為等邊三角形，故BD=4，HB=2，  HC=2

3

．由此入手能夠求出當PB取得最小值時四棱錐P-BDEF的體積．

解答：解：（1）證明：∵菱形ABCD的對角線互相垂直，
∴BD⊥AC，∴BD⊥AO，
∵EF⊥AC，∴PO⊥EF．
∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO?平面PEF，
∴PO⊥平面ABFED，
∵BD?平面ABFED，∴PO⊥BD．
∵AO∩PO=O，∴BD⊥平面POA．…（4分）
（2）設AO∩BD=H．因為∠DAB=60°，
所以△BDC為等邊三角形，
故BD=4，HB=2，  HC=2

3

．
又設PO=x，則OH=2

3

-x，OA=4

3

-x．
由OH⊥BD，則|OB|2=(2

3

-x)2+22，
又由（1）知，PO⊥平面BFED，則PO⊥OB
所以|PB|=

(2 3 -x)2+22+x2

=

2(x- 3 )2+10

，
當x=

3

時，|PB|min=

10

．
此時PO=

3

，…（8分）
所以V四棱錐P-BFED=

1

3

•S梯形BFED•PO=

1

3

•(

3

4

×42-

3

4

×22)×

3

=3．…（12分）

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查四錐錐體積的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地化空間問題為平面問題．