Question

已知△ABC的面積S滿足

3

≤S≤3

3

，且

AB

•

BC

=6．
（1）求角B的取值范圍；
（2）求函數f(B)=

1- 2 cos(2B- π 4 )

sinB

的值域．

Answer 1

分析：（1）由△ABC的面積S=

1

2

|

AB

|•|

BC

|•sinB，且

AB

•

BC

=6．我們易得S=-3tanB，又因為滿足

3

≤S≤3

3

，故我們可得一個關于角B的三角不等式，根據正切函數的單調性及B為三角形內角，解三角不等式即可得到角B的取值范圍；
（2）要求函數f（B）的值域，要先將函數的解析式進行化簡，然后根據正弦型函數的單調性和（1）中B的取值范圍進行求解．

解答：解：（1）

AB

•

BC

=|

AB

|•|

BC

|•cos(π-B)=6①
S=

1

2

|

AB

|•|

BC

|•sinB②；
由①、②得，S=-3tanB．
由

3

≤S≤3

3

可得，

3

3

≤-tanB≤

3

，
又0≤B≤π，
所以B∈[

2π

3

，  

5π

6

]．
（2）f(B)=

1- 2 cos(2B- π 4 )

sinB

=2

2

sin(B-

π

4

)，
因為B∈[

2π

3

，  

5π

6

]，
所以B-

π

4

∈[

5π

12

，

7π

12

]，
當B=

3π

4

時，
f（B）取最大值2

2

；
當B=

2π

3

或B=

5π

6

時，
f（B）取最小值1+

3

．
綜上，所求函數的值域為[1+

3

，2

2

]．

點評：函數y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A確定，由周期由ω決定，即要求三角函數的周期與最值一般是要將其函數的解析式化為正弦型函數，再根據最大值為|A|，最小值為-|A|，周期T=

π

ω

進行求解．