Question

過單位圓x²+y²=1是位于第一象限的任意一點作圓的切線，則該切線與兩坐標軸所圍成的三角形面積的最小值是

 

．

Answer 1

分析：設出切點得到切線方程，分別求出與坐標軸的交點坐標，表示出切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積，然后利用基本不等式求出面積的最小值即可．

解答：解：設切點坐標為（x₀，y₀），因為切線方程的斜率與過切點的半徑所在的直線垂直，過切點的半徑所在的直線的斜率為

y0

x0

，則切線方程的斜率為-

x0

y0

，所以切線方程為y-y₀=-

x0

y0

（x-x₀），因為切點在圓上所以x₀²+y₀²=1，化簡得切線方程為x₀x+y₀y=1，
該切線與兩坐標軸的交點坐標分別是(

1

x0

，0)，(0，

1

y0

)，
故切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積是

1

2x0y0

，又x₀²+y₀²=1，
故

1

2x0y0

≥

1

x  2 0 + y  2 0

=1，即切線與兩坐標軸所圍成的三角形面積的最小值是1．
故答案為1．

點評：此題是一道中檔題，要求會求曲線上過某點的切線方程，會利用基本不等式求函數的最值．出現問題最多的是許多學生寫不出切線方程，不會求字母已知數的方程，應多加訓練此類題形．