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設二次函數f(x)=ax2+bx(a≠0)滿足條件:①f(-1+x)=f(-1-x);②函數f(x)的圖象與直線y=x只有一個公共點.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若不等式時恒成立,求實數x的取值范圍.
【答案】分析:(1)先利用條件①得對稱軸方程求得b=2a;再利用條件②求出b和a之間的另一關系式,聯立即可求 f(x)的解析式;
(2)先利用π>1把原不等式轉化為+x>tx-2在t∈[-2,2]時恒成立,再把問題轉化為一次函數的恒成立問題即可求實數x的取值范圍.
解答:解:(1)∵由①f(x)=ax2+bx(a≠0)的對稱軸方程是x=-1,
∴b=2a;
∵函數f(x)的圖象與直線y=只有一個公共點,
有且只有一解,
即ax2+(b-1)x=0有兩個相同的實根;
故△=(b-1)2=0⇒b=1,a=,
所以f(x)=+x.
(2)∵π>1∴?f(x)>tx-2.
因為+x>tx-2在t∈[-2,2]時恒成立等價于
函數g(t)=xt-(x2+x+2)<0,t∈[-2,2]時恒成立;
⇒x<-3-,x>-3+
故實數x的取值范圍是(-∞,-3-)∪(-3+,+∞).
點評:本題考查了二次函數解析式的求法以及函數恒成立問題.二次函數解析式的確定,應視具體問題,靈活的選用其形式,再根據題設條件列方程組,即運用待定系數法來求解.在具體問題中,常常會與圖象的平移,對稱,函數的周期性,奇偶性等知識有機的結合在一起.
練習冊系列答案
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設二次函數f(x)=ax2+bx+c滿足f(-1)=0,對于任意的實數x都有f(x)-x≥0,并且當x∈(0,2)時,f(x)≤(
x+12
)
2

(1)求f(1)的值;
(2)求證:a>0,c>0;
(3)當x∈(-1,1)時,函數g(x)=f(x)-mx,m∈R是單調的,求m的取值范圍.

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設二次函數f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的兩個根x1、x2滿足0<x1<x2
1
a
,且函數f(x)的圖象關于直線x=x0對稱,則有( 。
A、x0
x1
2
B、x0
x1
2
C、x0
x1
2
D、x0
x1
2

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設二次函數f(x)=ax2+(2b+1)x-a-2(a,b∈R,a≠0)在[3,4]上至少有一個零點,求a2+b2的最小值.

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設二次函數f(x)=ax2+bx+c(a≠0)滿足:當x=1時,f(x)取得最小值1,且f(0)=
32

(1)求a、b、c的值;
(2)是否存在實數m,n,使x∈[m,n]時,函數的值域也是[m,n]?若存在,則求出這樣的實數m,n;若不存在,則說明理由.

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設二次函數f(x)=x2+x+a(a>0),若f(m)<0,則有( 。

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