Question

已知橢圓方程為+=1（a＞b＞0），O為原點，F為右焦點，點M是橢圓右準線l上（除去與x軸的交點）的動點，過F作OM的垂線與以OM為直徑的圓交于點N，則線段ON的長為

1. A.
   c
2. B.
   b
3. C.
   a
4. D.
   不確定

Answer 1

C
分析：首先結合題意利用點斜式寫出直線FN的方程，并且進行整理，設N（x，y），再由ON⊥NM，即斜率之積等于-1得到一個關于x，y的等式，進而把直線FN的方程代入此等式化簡，可得x²+y²=a²，即可得到線段ON的長．
解答：由題意可得設F（c，0），點M（，m），
∴k_OM=，
由題意可得：OM⊥FN，
∴FN的方程為：y-0=（x-c），
∴整理方程可得：my=（x-c），即my+x=a²①，
∵過點F作OM的垂線與以OM為直徑的圓交于點N，
∴ON⊥NM，即K_ON•K_NM=-1，
設N（x，y），
∴•=-1，整理可得：x²+y²=x+my ②，
聯立①②得：x²+y²=x+my=a²，
∴|ON|==a．
故選C．
點評：本題主要考查橢圓的簡單性質與直線和圓的位置關系的應用，以及考查形式的運算能力與分析問題解決問題的能力，此題在運算方面有一定的技巧，因此在計算時要靈活，此題屬于中檔題．