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 (2009湖南卷理)(本小題滿分12分)

如圖4,在正三棱柱中,

D是的中點,點E在上,且。

證明平面平面

求直線和平面所成角的正弦值。          

解  (I) 如圖所示,由正三棱柱的性質知平面

又DE平面ABC,所以DEAA.

而DEAE。AAAE=A  所以DE平面AC CA,又DE平面ADE,故平面ADE平面AC CA。

(2)解法1  如圖所示,設F使AB的中點,連接DF、DC、CF,由正三棱柱ABC- ABC的性質及D是AB的中點知ABCD,  ABDF           

又CDDF=D,所以AB平面CDF,

而AB∥AB,所以

AB平面CDF,又AB平面ABC,故

平面AB C平面CDF。

過點D做DH垂直CF于點H,則DH平面AB C。          

連接AH,則HAD是AD和平面ABC所成的角。

由已知AB=A A,不妨設A A=,則AB=2,DF=,D C=,

CF=,AD==,DH==

所以 sinHAD==。

即直線AD和平面AB C所成角的正弦值為。

解法2  如圖所示,設O使AC的中點,以O為原點建立空間直角坐標系,不妨設

A A=,則AB=2,相關各點的坐標分別是

A(0,-1,0), B(,0,0),  C(0,1,),  D(,-,)。

易知=(,1,0), =(0,2,), =(,-,)          

設平面ABC的法向量為n=(x,y,z),則有

解得x=-y, z=-,

故可取n=(1,-,)。

所以,(n·)===。

由此即知,直線AD和平面AB C所成角的正弦值為

練習冊系列答案
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(2009湖南卷理)(本小題滿分12分)

如圖4,在正三棱柱中,

D是的中點,點E在上,且

(I)                    證明平面平面

(II)                  求直線和平面所成角的正弦值。           

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