Question

已知a是實數，函數f(x)=

x

(x-a)
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）設g（a）為f（x）在區間[0，2]上的最小值．
（i）寫出g（a）的表達式；
（ii）求a的取值范圍，使得-6≤g（a）≤-2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函數的定義域[0，+∞），求出f′（x），因為a為實數，討論a≤0，（x＞0）得到f′（x）＞0得到函數的單調遞增區間；若a＞0，令f'（x）=0，得到函數駐點討論x取值得到函數的單調區間即可．
（Ⅱ）①討論若a≤0，f（x）在[0，2]上單調遞增，所以g（a）=f（0）=0；若0＜a＜6，f（x）在[0，

a

3

]上單調遞減，在(

a

3

，2]上單調遞增，所以g(a)=f(

a

3

)=-

2a

3

a 3

；若a≥6，f（x）在[0，2]上單調遞減，所以g(a)=f(2)=

2

(2-a)．得到g（a）為分段函數，寫出即可；②令-6≤g（a）≤-2，代到第一段上無解；若0＜a＜6，解得3≤a＜6；若a≥6，解得6≤a≤2+3

2

．則求出a的取值范圍即可．

解答：解；（Ⅰ）解：函數的定義域為[0，+∞），f′(x)=

x

+

x-a

2 x

=

3x-a

2 x

（x＞0）．
若a≤0，則f'（x）＞0，f（x）有單調遞增區間[0，+∞）．
若a＞0，令f'（x）=0，得x=

a

3

，當0＜x＜

a

3

時，f'（x）＜0，
當x＞

a

3

時，f'（x）＞0．f（x）有單調遞減區間[0，

a

3

]，單調遞增區間(

a

3

，+∞)．
（Ⅱ）解：（i）若a≤0，f（x）在[0，2]上單調遞增，所以g（a）=f（0）=0．
若0＜a＜6，f（x）在[0，

a

3

]上單調遞減，在(

a

3

，2]上單調遞增，
所以g(a)=f(

a

3

)=-

2a

3

a 3

．若a≥6，f（x）在[0，2]上單調遞減，
所以g(a)=f(2)=

2

(2-a)．
綜上所述，g(a)=

0 a≤0 - 2a 3 a 3 0＜a＜6 2 (2-a) a≥6

改天
（ii）令-6≤g（a）≤-2．若a≤0，無解．若0＜a＜6，解得3≤a＜6．
若a≥6，解得6≤a≤2+3

2

．故a的取值范圍為3≤a≤2+3

2

．

點評：本題主要考查函數的性質、求導數的應用等基礎知識，同時考查分類討論思想以及綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力．