Question

（1）設a₁，a₂，…，a_n是各項均不為零的n（n≥4）項等差數列，且公差d≠0。若將此數列刪去某一項后得到的數列（按原來的順序）是等比數列。
（i）當n=4時，求的數值；
（ii）求n的所有可能值。
（2）求證：對于給定的正整數n（n≥4），存在一個各項及公差均不為零的等差數列b₁，b₂，…，b_n，其中任意三項（按原來順序）都不能組成等比數列。

Answer 1

解：首先證明一個“基本事實”：
一個等差數列中，若有連續三項成等比數列，則這個數列的公差d₀=0
事實上，設這個數列中的連續三項a-d₀，a，a+d₀成等比數列，則a²=（a-d₀）（a+d₀），由此得d₀=0
（1）（i）當n=4時，由于數列的公差d≠0，故由“基本事實”推知，刪去的項只可能為a₂或a₃
①若刪去a₂，則由a₁，a₃，a₄成等比數列，得
因d≠0，故由上式得a²=-4d，即
此時數列為-4d，-3d，-2d，-d，滿足題設；
②若刪去a₃，則由a₁，a₂，a₄成等比數列，
得（a₁+d）²=a₁（a₁+3d）
因d≠0故由上式得a₁=d，即
此時數列為d，2d，3d，4d，滿足題設
綜上可知，的值為-4或1。
（ii）若n≥6，則從滿足題設的數列a₁，a₂，…a_n中刪去一項后得到的數列，必有原數列中的連續三項，從而這三項既成等差數列又成等比數列，故由“基本事實”知，數列a₁，a₂，…，a_n的公差必為0，這與題設矛盾
所以滿足題設的數列的項數n≤5
又因題設n≥4，故n=4或5
當n=4時，由（i）中的討論知存在滿足題設的數列。
當n=5時，若存在滿足題設的數列
則由“基本事實”知，刪去的項只能是a₃，從而
成等比數列
故
分別化簡上述兩個等式，得
，故d=0
矛盾。因此，不存在滿足題設的項數為5的等差數列，綜上可知，n只能為4。
（2）假設對于某個正整數n，存在一個公差為d'的n項等差數列

其中三項成等比數列
這里
則有
化簡得
由b₁d'≠0知或同時為零，或均不為零
若
則有
即矛盾
因此都不為零
故由（*）得
因為均為非負整數，所以上式右邊為有理數，從而是一個有理數
于是，對于任意的正整數n≥4，只要取為無理數，則相應的數列就是滿足要求的數列，例如，取那么n項數列滿足要求。