Question

已知數列{a_n}滿足a_n=2a_n-1+2ⁿ+2（n≥2），a₁=2．
（1）是否存在一個實數t，使得數列{

an+t

2n

}成等差數列，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；
（2）設數列{a_n}的前n項和為S_n，判斷S_n與n³+n²的大小，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由

an+t

2n

-

an-1+t

2n-1

=

an+t-2an-1-2t

2n

=

2n+2-t

2n

=1+

2-t

2n

恒為常數，能求出t．
（2）由

an+2

2n

=

a1+2

2

+(n-1)•1=n+1，知a_n=（n+1）•2ⁿ-2，所以S_n=2•2+3•2²+4•2³+…+（n+1）•2ⁿ-2n，-S_n=2•2²+3•2³+4•2⁴+…+（n+1）•2ⁿ⁺¹-4n．兩式相減得：-S_n=2•2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹+2n=-n•2ⁿ⁺¹+2n，S_n=n•2ⁿ⁺¹-2n．S_n=n•2ⁿ⁺¹-2n=2n（2ⁿ-1）=2n[（1+1）ⁿ-1]=2n[C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ-1]．然后通過分類討論進行求解．

解答：解：（1）∵

an+t

2n

-

an-1+t

2n-1

=

an+t-2an-1-2t

2n

=

2n+2-t

2n

=1+

2-t

2n

恒為常數
∴t=2                                                         （5分）
（2）∵

an+2

2n

=

a1+2

2

+(n-1)•1=n+1∴a_n=（n+1）•2ⁿ-2（7分）∴S_n=2•2+3•2²+4•2³+…+（n+1）•2ⁿ-2n∴-S_n=2•2²+3•2³+4•2⁴+…+（n+1）•2ⁿ⁺¹-4n
兩式相減得：-S_n=2•2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹+2n=-n•2ⁿ⁺¹+2n∴S_n=n•2ⁿ⁺¹-2n（10分）∴S_n=n•2ⁿ⁺¹-2n=2n（2ⁿ-1）=2n[（1+1）ⁿ-1]（12分）=2n[C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ-1]
當n≥4時，Sn=2n[1+n+

n(n-1)

2

+…+n-1]＞2n[n+

n(n-1)

2

]=n3+n2（12分）
當n=3時，S₃=3×2⁴-2×3=42＞3³+3²=36．
當n=1時，S₂=2=1³+1²
當n=2時，S₂=4＜2³+2²=12．
綜上可知，當n≥3時，S_n＞n³+n²；當n=2時，S_n＜n³+n²；當n=1時，S_n=n³+n²．（14分）

點評：本題考查數列與不等式的綜合運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地運用錯位相減法和分類討論法進行解題．