Question

對于實數a，b，定義運算“﹡”：a﹡b=

a2-ab，a≤b b2-ab，a＞b

，設f（x）=（2x-1）﹡x，且關于x 的方程f（x）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實數根x₁，x₂，x₃，則x₁+x₂+x₃的取值范圍是

（

5

2

，2+

2

2

）

．

Answer 1

分析：由新定義，可以求出函數的解析式，進而求出x的方程為f（x）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實數根時，實數m的取值范圍，及三個實根之間的關系，進而求出x₁+x₂+x₃的取值范圍．

解答：解：∵a﹡b=

a2-ab，a≤b b2-ab，a＞b

，
∴f（x）=（2x-1）﹡x=

2x2-3x+1，x≤1 -x2+x，x＞1

，
作出函數的圖象可得，
要使方程f（x）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實數根x₁，x₂，x₃，需m∈（-

1

4

，0）
令-x2+x=-

1

4

，解之可得x=

1+ 2

2

，或x=

1- 2

2

（舍去）
不妨令x₁＜x₂＜x₃，由二次函數的對稱性可得x₁+x₂=

3

2

，1＜x₃＜

1+ 2

2

，
∴

5

2

＜x₁+x₂+x₃＜2+

2

2

，
故x₁+x₂+x₃的取值范圍是（

5

2

，2+

2

2

）
故答案為：（

5

2

，2+

2

2

）

點評：本題考查根的存在性及根的個數判斷，根據已知新定義，求出函數的解析式，并分析出函數圖象是解答的關鍵，屬中檔題．