Question

將數字1，2，3，4任意排成一列，如果數字k恰好出現在第k個位置上，則稱之為一個巧合，求巧合數的數學期望．

Answer 1

分析：由題意知巧合數ξ的可能取值是0、1、2、3、4，當ξ=0時表示沒有巧合數，試驗包含的所有事件是四個數在四個位置排列，而滿足條件的事件是沒有巧合數，共有3×3種結果，類似的可以做出其他的概率，得到期望．

解答：解：設ξ為巧合數，則ξ的可能取值是0、1、2、3、4，
當ξ=0時表示沒有巧合數，試驗包含的所有事件是四個數在四個位置排列，共有A₄⁴種結果，
而滿足條件的事件是沒有巧合數，共有3×3種結果，類似的可以做出其他的概率，
則P（ξ=0）=

9

A 4 4

=

9

24

，
P（ξ=1）=

C 1 4 ×2

A 4 4

=

1

3

，
P（ξ=2）=

C 2 4

A 4 4

=

1

4

，
P（ξ=3）=0，
P（ξ=4）=

C 4 4

A 4 4

=

1

24

，
∴Eξ=0×

9

24

+1×

1

3

+2×

1

4

+3×0+4×

1

24

=1．
∴巧合數的期望為1．

點評：讓學生進一步理解期望是反映隨機變量在隨機試驗中取值的平均值，它是概率意義下的平均值，不同于相應數值的算術平均數．區別隨即機變量的期望與相應數值的算術平均數．