Question

已知f（x）=ax-3a+1，g（x）=

1

x-2

（x＞2）．
（1）若a=-1，解不等式f（x）＞

1

2

g（x）；
（2）判斷函數(shù)y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象公共點的個數(shù)．

Answer 1

分析：（1）a=-1時，f（x）=-x+4，由f（x）＞

1

2

g（x）（x＞2）轉(zhuǎn)化為2x²-12x+17＜0，再解此一元二次不等式即可；
（2）由f（x）=g（x），得到ax²+（1-5a）x+6a-3=0，再結(jié)a進(jìn)行分類討論：①a=0時，②a≠0時，（i）若

2a-1

a

=3，（ii）若

2a-1

a

≠3，分別求得圖象公共點的個數(shù)，綜上所述函數(shù)y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象公共點的個數(shù)．

解答：解：（1）a=-1時，f（x）=-x+4，
由f（x）＞

1

2

g（x）（x＞2）
得-x+4＞

1

2

×

1

x-2

，
∴2x²-12x+17＜0（*）
∴3-

2

2

＜x＜3+

2

2

，
∵3-

2

2

＞2，∴解集為：{x|3-

2

2

＜x＜3+

2

2

}，
（2）由f（x）=g（x），得ax-3a+1=

1

x-2

，∴（ax-3a+1）（x-2）=1
即ax²+（1-5a）x+6a-3=0，（*）①
a=0時，x=3，兩個圖象公共點的個數(shù)是1，公共點（3，1）
②a≠0時，方程*即[ax-（2a-1）]（x-3）=0
∴（x-3）（x-

2a-1

a

）=0，
x₁=3，x₂=

2a-1

a

，
（i）若

2a-1

a

=3，即a=-1時，方程*有兩個相等的實根3，
∴函數(shù)y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象公共點的個數(shù)為1，
（ii）若

2a-1

a

≠3，即a≠-1時，
∵x₂-2=

2a-1

a

-2=-

1

a

，
當(dāng)a＞0時，x₂=

2a-1

a

＜2，
當(dāng)a＜0時，x₂=

2a-1

a

＞2，
綜上所述，a≥0或a=-1函數(shù)y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象公共點的個數(shù)為1，
a＜0或a≠-1函數(shù)y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象公共點的個數(shù)為2．

點評：本小題主要考查根的存在性及根的個數(shù)判斷、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．