Question

已知函數f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1（a∈R）
（I）當a=-1時，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（II）當a≤

1

2

時，討論f（x）的單調性．

Answer 1

分析：（I）求導函數，確定切線的斜率，求出切點的坐標，即可得到切線方程；
（II）當a≤

1

2

時，分類討論．利用導數的正負，可討論f（x）的單調性．

解答：解：（I）當a=-1時，f（x）=lnx+x+

2

x

-1
∴f′(x)=

1

x

+1-

2

x2

∴f′（2）=1
∵f（2）=2+ln2
∴曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y-2-ln2=x-2，即y=x+ln2；
（II）f′(x)=

1

x

-a-

1-a

x2

=

(x-1)[ax-(1-a)]

x2

當0＜a≤

1

2

時，令f′（x）＞0，可得x＜1或x＞

1-a

a

；令f′（x）＜0，可得1＜x＜

1-a

a

；
當a=0時，令f′（x）＞0，可得x＜1；令f′（x）＜0，可得x＞1；
當a＜0時，令f′（x）＞0，可得

1-a

a

＜x＜1；令f′（x）＜0，可得x＜

1-a

a

或x＞1，
綜上，當0＜a≤

1

2

時，函數的單調增區間為（-∞，1），（

1-a

a

，+∞）；單調減區間為（1，

1-a

a

）；
當a=0時，函數的單調增區間為（-∞，1）；單調減區間為（1，+∞）；
當a＜0時，單調增區間為（

1-a

a

，1）；單調減區間為（-∞，

1-a

a

），（1，+∞）

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性，考查分類討論的數學思想，正確求導是關鍵．