Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n滿足條件2S_n=3（a_n-1），其中n∈N^*．
（1）求證：數列{a_n}成等比數列；
（2）設數列{b_n}滿足b_n=log₃a_n． 若 c_n=a_nb_n，求數列{c_n}的前n項和．

Answer 1

（1）由題得an=Sn-Sn-1=

3

2

(an-an-1)(n≥2)…（2分）所以a_n=3a_n-1故有

an

an-1

=3(n≥2)…（4分）
又S1=

3

2

(a1-1)=a1，解得a₁=3，所以數列{a_n}成等比數列…（6分）
由（1）得a_n=3ⁿ，則b_n=log₃a_n=log₃3ⁿ=n…（8分）故有 c_n=a_nb_n=n3ⁿ
設T_n=1•3¹+2•3²+3•3³+…+（n-1）3^n-1+n•3ⁿ
3T_n=1•3²+2•3³+3•3⁴+…+（n-1）3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹…（10分）
則 -2Tn=(31+32+33+…+3n)-n•3n+1=

3(1-3n)

1-3

-n•3n+1
所以Tn=

(2n-1)3n+1+3

4

…（14分）