Question

設f（x）=3ax²+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）f（1）＞0，求證：
（Ⅰ）方程f（x）=0有實根．
（Ⅱ）-2＜＜-1；設x₁，x₂是方程f（x）=0的兩個實根，則.．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）針對a進行分類討論，若a=0，f（0）f（1）≤0顯然與條件矛盾，a≠0時，f（x）=3ax²+2bx+c為二次函數，只需考慮判別式即可；
（Ⅱ）利用根與系數的關系將（x₁-x₂）²轉化成關于的二次函數，根據的范圍求出值域即可．
解答：證明：（Ⅰ）若a=0，則b=-c，
f（0）f（1）=c（3a+2b+c）=-c²≤0，
與已知矛盾，
所以a≠0．
方程3ax²+2bx+c=0的判別式△=4（b²-3ac），
由條件a+b+c=0，消去b，得△=4（a²+b²-ac）=
故方程f（x）=0有實根．
（Ⅱ）由條件，知，，
所以（x₁-x₂）²=（x₁-x₂）²-4x₁x₂=
因為，
所以
故
點評：本題主要考查二次函數的基本性質、不等式的基本性質與解法，以及綜合運用所學知識分析和解決問題的能力．