Question

已知S_n是數列{a_n}的前n項和，若S_n=1+na_n（n=1，2，3…），則S_n關于n的表達式為S_n=

 

．

Answer 1

分析：S_n=1-na_n，S_n=1-n（S_n-S_n-1），整理得（n+1）S_n-nS_n-1=1，所以nS_n-1-（n-1）S_n-2=1，…，3S₂-2S₁=1，然后用疊加法進行求解．

解答：解：S_n=1-na_n，
S_n=1-n（S_n-S_n-1），
整理得（n+1）S_n-nS_n-1=1，
∴nS_n-1-（n-1）S_n-2=1，
…
3S₂-2S₁=1，
疊加得
（n+1）S_n-2S₁=n-1，
∵S₁=a₁=1-a₁，
∴a1=

1

2

，
∴（n+1）S_n=n
Sn=

n

n+1

．
故答案為：

n

n+1

．

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要注意疊加法的合理運用．