Question

為了響應學校“學科文化節”活動，數學組舉辦了一場數學知識比賽，共分為甲、乙兩組．其中甲組得滿分的有1個女生和3個男生，乙組得滿分的有2個女生和4個男生．現從得滿分的學生中，每組各任選2個學生，作為數學組的活動代言人．
（1）求選出的4個學生中恰有1個女生的概率；
（2）設X為選出的4個學生中女生的人數，求X的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（1）設“從甲組內選出的2個同學均為男同學；從乙組內選出的2個同學中，1個是男同學，1個為女同學”為事件A，“從乙組內選出的2個同學均為男同學；從甲組內選出的2個同學中1個是男同學，
1個為女同學”為事件B，則所求概率為P（A+B），根據互斥事件的概率加法公式可求；
（2）X可能的取值為0，1，2，3，利用古典概型的概率加法公式可求X取相應值時的概率，從而可得分布列，利用數學期望公式可求得期望值；

解答：解：（1）設“從甲組內選出的2個同學均為男同學；從乙組內選出的2個同學中，1個是男同學，
1個為女同學”為事件A，
“從乙組內選出的2個同學均為男同學；從甲組內選出的2個同學中1個是男同學，
1個為女同學”為事件B，由于事件A?B互斥，
且P（A）=

c 2 3 C 1 2 C 1 4

C 2 4 C 2 6

=

4

15

，P（B）=

C 1 3 C 2 4

C 2 4 C 2 6

=

1

5

，
∴選出的4個同學中恰有1個女生的概率為 P（A+B）=P（A）+P（B）=

4

15

+

1

5

=

7

15

；
（2）X可能的取值為0，1，2，3，
P（X=0）=

1

5

，P（X=1）=

7

15

，P（X=2）=

3

10

，P（X=3）=

1

30

，
∴X的分布列為

X	0	1	2	3
P	1 5	7 15	3 10	1 30

∴X的數學期望EX=

7

15

+2×

3

10

+3×

1

30

=

7

6

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列、期望及古典概型的概率加法公式，正確理解題意是解決問題的基礎．