Question

（2011•天津模擬）在直角坐標平面內，已知點列P₁（1，2），P₂（2，2²），P₃（3，2³），…，P_n（n，2ⁿ），…如果k為正偶數，則向量

P1P2

+

P3P4

+

P5P6

+…+

Pk-1Pk

的縱坐標（用k表示）為

2k+1-2

3

．

Answer 1

分析：由已知中，P₁（1，2）、P₂（2，2²）、P₃（3，2³），…，P_n（n，2ⁿ），…我們根據向量坐標的確定方法可以求出向量

P1P2

，

P3P4

，

P5P6

，…，

Pk-1Pk

的坐標，進而根據平面向量加法的坐標公式，及等比數列的前n項和公式，易求出答案．

解答：解：∵P₁（1，2）、P₂（2，2²）、P₃（3，2³），…，P_n（n，2ⁿ）
∴

p1p2

=（1，2），

p3p4

=（1，2³），

p5p6

=（1，2⁵），…，

pk-1pk

=（1，2^k-1），
∴

P1P2

+

P3P4

+

P5P6

+…+

Pk-1Pk

=（1，2）+（1，2³）+（1，2⁵）+…+（1，2^k-1）
（

k

2

，2+2³+2⁵+…+2^k-1）
=（

k

2

，

2k+1-2

3

)，
∴向量

P1P2

+

P3P4

+

P5P6

+…+

Pk-1Pk

的縱坐標（用k表示）為：

2k+1-2

3

．
故答案為：

2k+1-2

3

．

點評：本題考查的知識點是平面向量的正交分解及坐標表示，等比數列的前n項和，其中根據已知求出向量

P1P2

，

P3P4

，

P5P6

，…，

Pk-1Pk

的坐標，是解答本題的關鍵．