Question

（2013•北京）如圖是某市3月1日至14日的空氣質量指數趨勢圖，空氣質量指數小于100表示空氣質量優良，空氣質量指數大于200表示空氣重度污染．某人隨機選擇3月1日至3月15日中的某一天到達該市，并停留2天．

（Ⅰ）求此人到達當日空氣重度污染的概率；
（Ⅱ）設x是此人停留期間空氣質量優良的天數，求X的分布列與數學期望；
（Ⅲ）由圖判斷從哪天開始連續三天的空氣質量指數方差最大？（結論不要求證明）

Answer 1

分析：（I）由題意此人隨機選擇某一天到達該城市且停留2天，因此他必須在3月1日至13日的某一天到達該城市，由圖可以看出期間有2天屬于重度污染，據此即可得到所求概率；
（II）由題意可知X所有可能取值為0，1，2．由圖可以看出在3月1日至14日屬于優良天氣的共有7天．①當此人在3月4號，5號，8號，9號，10號這5天的某一天到達該城市時，停留的2天都不是優良天氣；②當此人在3月3號，6號，7號，11號，這4天的某一天到達該城市時，停留的2天1不是優良天氣1天是優良天氣；③當此人在3月1號，2號，12號，13號，這4天的某一天到達該城市時，停留的2天都是優良天氣根據以上分析即可得出P（X=0），P（X=1），p（x=2）及分布列與數學期望．
（III）由圖判斷從3月5天開始連續三天的空氣質量指數波動最大，因此方差最大．

解答：解：（I）設“此人到達當日空氣重度污染”為事件A．
因為此人隨機選擇某一天到達該城市且停留2天，因此他必須在3月1日至13日的某一天到達該城市，由圖可以看出期間有2天屬于重度污染，故P（A）=

2

13

．
（II）由題意可知X所有可能取值為0，1，2．
由圖可以看出在3月1日至14日屬于優良天氣的共有7天．
①當此人在3月4號，5號，8號，9號，10號這5天的某一天到達該城市時，停留的2天都不是優良天氣，故P（X=0）=

5

13

；
②當此人在3月3號，6號，7號，11號，這4天的某一天到達該城市時，停留的2天中的1天不是優良天氣1天是優良天氣，故P（X=1）=

4

13

；
③當此人在3月1號，2號，12號，13號，這4天的某一天到達該城市時，停留的2天都是優良天氣，故P（X=2）=

4

13

．
故X的分布列為

X	0	1	2
P	5 13	4 13	4 13

∴E（X）=0×

5

13

+1×

4

13

+2×

4

13

=

12

13

．
（III）由圖判斷從3月5天開始連續三天的空氣質量指數波動最大，因此方差最大．

點評：本題考查了正確理解題意及識圖的能力、古典概型的概率計算、隨機變量的分布列及數學期望與方差，考查了數形結合的思想方法及審題與計算的能力．