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某興趣小組測量電視塔AE的高度H(單位:m),如示意圖,垂直放置的標桿BC的高度h=4m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β.
(1)該小組已經測得一組α、β的值,tanα=1.24,tanβ=1.20,請據此算出H的值;
(2)該小組分析若干測得的數據后,認為適當調整標桿到電視塔的距離d(單位:m),使α與β之差較大,可以提高測量精確度.若電視塔的實際高度為125m,試問d為多少時,α-β最大?
【答案】分析:(1)在Rt△ABE中可得AD=,在Rt△ADE中可得AB=,BD=,再根據AD-AB=DB即可得到H.
(2)先用d分別表示出tanα和tanβ,再根據兩角和公式,求得tan(α-β)=,再根據均值不等式可知當d===55時,tan(α-β)有最大值即α-β有最大值,得到答案.
解答:解:(1)=tanβ⇒AD=,同理:AB=,BD=
AD-AB=DB,故得-=
得:H===124.
因此,算出的電視塔的高度H是124m.
(2)由題設知d=AB,得tanα=,tanβ===
tan(α-β)====
d+≥2,(當且僅當d===55時,取等號)
故當d=55時,tan(α-β)最大.
因為0<β<α<,則0<α-β<,所以當d=55時,α-β最大.
故所求的d是55m.
點評:本題主要考查解三角形的知識、兩角差的正切及不等式的應用.當涉及最值問題時,可考慮用不等式的性質來解決.
練習冊系列答案
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124
124
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