Question

已知函數(shù)f(x)=x+

m

x

+m（x∈[1，+∞）且m＜1）．
（Ⅰ）用定義證明函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g(x)=x•f(x)+2x+

3

2

，若[2，5]是g（x）的一個單調(diào)區(qū)間，且在該區(qū)間上g（x）＞0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)1≤x₁＜x₂＜+∞，f(x1)-f(x2)=(x1+

m

x1

+m)-(x2+

m

x2

+m)=（x₁-x₂）（1-

m

x1x2

），由1≤x₁＜x₂＜+∞，m＜1，能夠證明函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)．
（Ⅱ）g(x)=x(x+

m

x

+x)+2x+

3

2

=x2+(m+2)x+m+

3

2

，對稱軸x=-

m+2

2

，定義域x∈[2，5]，由此進行分類討論，能夠求出實數(shù)m的取值范圍．

解答：（Ⅰ）證明：設(shè)1≤x₁＜x₂＜+∞，
f(x1)-f(x2)=(x1+

m

x1

+m)-(x2+

m

x2

+m)=（x₁-x₂）（1-

m

x1x2

）
∵1≤x₁＜x₂＜+∞，m＜1，
∴x₁-x₂＜0，1-

m

x1x2

＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)．
（Ⅱ）解：g(x)=x(x+

m

x

+x)+2x+

3

2

=x2+(m+2)x+m+

3

2

對稱軸x=-

m+2

2

，定義域x∈[2，5]
①g（x）在[2，5]上單調(diào)遞增，且g（x）＞0，

- m+2 2 ≤2 g(2)＞0

⇒

m≥-6 m＞- 19 6

⇒m＞-

19

6

②g（x）在[2，5]上單調(diào)遞減，且g（x）＞0，

- m+2 2 ≥5 g(5)＞0

⇒

m≤-12 m＞- 73 12

⇒無解
綜上所述1＞m＞-

19

6

點評：本題考查函數(shù)的恒成立問題的性質(zhì)和應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．解題時要認真審題，仔細解答．