Question

如圖，已知等軸雙曲線C：上一定點P(，)及曲線上的兩個動點A、B滿足()?()=0(其中O為原點)．

(1)求證：()?()=0；

(2)求|AB|的最小值．

Answer 1

解：(1)設A(₁，₁)，B(₂，₂)，AP、BP的中點分別為M、N，

則，

兩式相減得．

同理．

即=0，即．

∴．

∴

∴OM⊥ON，即()．()=0．

(2)∵∠MON+∠MPN=，∴O、M、P、N四點共圓，且MN為圓的直徑，OP為圓的弦．

|MN|≥|OP|，

∴|AB|=2|MN|≥2|OP|=2．

因此|AB|的最小值為2．