Question

設A₁、A₂與B分別是橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右頂點與上定點，直線A₂B與圓C：x²+y²=1相切．
（1）求證：

1

a2

+

1

b2

=1；
（2）P是橢圓E上異于A₁、A₂ 的一點，直線PA₁、PA₂的斜率之積為-

1

3

，求橢圓E的方程；
（3）直線l與橢圓E交于M、N兩點，且

OM

•

ON

=0，試判斷直線l與圓C的位置關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題設知A₁（-a，0），A₂（a，0），B（0，b），故直線A₂B的方程是

x

a

+

y

b

=1，再由直線A₂B與圓C：x²+y²=1相切，能夠證明

1

a2

+

1

b2

=1．
（2）設P（x₀，y₀），則直線PA₁，PA₂的斜率之積為kPA1•kPA2=

y0

x0+a

•

y0

x0-a

=

y02

x02-a2

=-

1

3

，由此能夠求出橢圓E的方程．
（3）設點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），設直線l為y=kx+m，由y=kx+m代入

x2

a2

+

y2

b2

=1，得

x2

a2

+

(kx+m)2

b2

=1，由此能夠推導出直線l與圓C相切．若直線l的斜率不存在同樣能夠導出直線l與圓C相切．

解答：（1）證明：∵A₁、A₂與B分別是橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右頂點與上定點，
∴A₁（-a，0），A₂（a，0），B（0，b），
∴直線A₂B的方程是

x

a

+

y

b

=1，
∵直線A₂B與圓C：x²+y²=1相切，
∴

1

1 a2 + 1 b2

=1，故

1

a2

+

1

b2

=1．
（2）解：設P（x₀，y₀），則直線PA₁，PA₂的斜率之積為：
kPA1•kPA2=

y0

x0+a

•

y0

x0-a

=

y02

x02-a2

=-

1

3

，

x02

a2

+

3y02

a2

=1，
∵

x02

a2

+

y02

b2

=1，∴b2=

1

3

a2，
結合

1

a2

+

1

b2

=1，得a2=4，b2=

4

3

，
∴橢圓E的方程為

x2

4

+

3y2

4

=1．
（3）解：設點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
①若直線l的斜率存在，設直線l為y=kx+m，
由y=kx+m代入

x2

a2

+

y2

b2

=1，得

x2

a2

+

(kx+m)2

b2

=1，
化簡，得（b²+a²k²）x²+2a²kmx+a²m²-a²b²=0（△＞0），
∴x1x2=

a2m2-a2b2

b2+a2k2

，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）
=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=

a2k2m2-a2b2k2

b2+a2k2

+km（-

2a2km

b2+a2k2

）+m²
=

b2m2-a2b2k2

b2+a2k2

，
∵

OM

•

ON

=0，∴x₁x₂+y₁y₂=0．
代入，得（a²+b²）m²-a²b²（1+k²）=0，
∵

1

a2

+

1

b2

=1，∴m²=1+k²，
圓心到直線l的距離為d=

|m|

1+k2

=1，
所以，直線l與圓C相切．
②若直線l的斜率不存在，設直線l：x=n，
代入

x2

a2

+

y2

b2

=1，得y=±b

1- n2 a2

，
∴|n|=b

1- n2 a2

，∴a²n²=b²（a²-n²），
化簡整理可得n²=

a2b2

a2+b2

，
又由（1）中的結論可知，

1

a2

+

1

b2

=1，即

a2b2

a2+b2

=1，
∴n²=1，
解得n=±1，所以直線l與圓C相切．

點評：本題考查橢圓方程的求法，判斷直線與橢圓的位置關系，具體涉及到橢圓的簡單性質、直線與橢圓的位置關系，綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．