Question

16、如圖，平面ABCD⊥平面PAD，△APD是直角三角形，∠APD=90°，四邊形ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD=90°，AD=2BC，O是AD的中點
（1）求證：CD∥平面PBO；
（2）求證：平面PAB⊥平面PCD．

Answer 1

分析：（1）因為AD=2BC，且O是AD中點，可以證四邊形BCDO為平行四邊形，然后根據直線與平面的判斷定理進行證明；
（2）因為∠BAD=90°，所以BA⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，先證明PD⊥平面PAB，再由PD?平面PCD，利用平面與平面垂直的判斷定理，進行求證．

解答：證明：（1）因為AD=2BC，且O是AD中點，
所以OD=BC，又AD∥BC，所以OD∥BC，
所以四邊形BCDO為平行四邊形，（2分）
所以CD∥BO，CD?平面PBO，
且BO?平面PBO，故CD∥平面PBO；（6分）
（2）因為∠BAD=90°，所以BA⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，
且平面PAD∩平面ABCD=AD，AB?平面ABCD，
∴AB⊥平面PAD，（8分）PD?平面PAD，
∴AB⊥PD，AP⊥PD，AB∩AP=A，
∴PD⊥平面PAB，（12分）∵PD?平面PCD，
故平面PAB⊥平面PCD． （14分）

點評：此題考查直線與平面平行的判斷及平面與平面垂直的判斷，此類問題一般先證明兩個面平行，再證直線和面平行，這種做題思想要記住，此類立體幾何題是每年高考必考的一道大題，同學們要課下要多練習．