Question

設函數f（x）的定義域為R，若存在常數M＞0，使|f（x）|≤M|x|對一切實數x都成立，則稱該f（x）為β函數，現給出如下函數：（1）f（x）=2x-1；（2）f（x）=x²；（3）f（x）=sinx；（4）f(x)=

x

x2+x+1

；（5）f（x）=2^x-1；其中是β函數的序號是

（3）（4）

．

Answer 1

分析：本題考查閱讀題意的能力，根據β函數的定義對各選項進行判定．比較各個選項，發現只有選項（3）（4），根據單調性可求出存在正常數M滿足條件，而對于其它選項，不等式變形之后，發現都不存在正常數M使之滿足條件，由此即可得到正確答案．

解答：解：據定義逐個加以判斷：
對于（1），|f（x）|=|2x-1|≤M|x|，即|

2x-1

x

|=|2-

1

x

|≤M，不存在這樣的M對一切實數x均成立，故不是β函數；
對于（2），|f（x）|=|x²|≤M|x|，即|x|≤M，不存在這樣的M對一切實數x均成立，故不是β函數；
對于（3），|f（x）|=|sinx|≤M|x|，即|

sinx

x

|≤M，當M≥1時，對一切實數x均成立，f（x）=sinx是β函數．
對于（4），要使|f（x）|≤M|x|成立，即 |

x

x2+x+1

| ≤M|x|
當x=0時，M可取任意正數；當x≠0時，只須M≥|

1

x2+x+1

|的最大值；因為x²+x+1=(x+

1

2

)2+

3

4

≥

3

4

，所以M≥

4

3

，
因此，當M≥

4

3

時，f（x）=

x

x2+x+1

是β函數；
對于（5），|f（x）|=|2^x-1|≤M|x|，即|

2 x-1

x

|≤M，不存在這樣的M對一切實數x均成立，故不是β函數；
 故答案為（3）（4）．

點評：本題考查了函數恒成立的知識點，屬于中檔題．深刻理解題中β函數的定義，用不等式的性質加以處理，找出不等式恒成立的條件再進行判斷，是解決本題的關鍵所在．