Question

如圖，以橢圓的中心為圓心，分別以和為半徑作大圓和小圓。過橢圓右焦點作垂直于軸的直線交大圓于第一象限內的點．連結交小圓于點．設直線是小圓的切線．

（1）證明，并求直線與軸的交點的坐標；

（2）設直線交橢圓于、兩點，證明．

Answer 1

本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線方程、平面向量、曲線和方程的關系等解析幾何的基礎知識和基本思想方法，考查推理及運算能力.

(Ⅰ)證明：由題設條件知，Rt△OFA∽Rt△OBF，故

即.

因此，。

解：在Rt△OFA中，

于是，直線OA的斜率.設直線BF的斜率為k，則

這時，直線BF的方程為（x－c），令x=0，則

所以直線BF與y軸的交點為M（0，a）.

(Ⅱ)證明：由（Ⅰ），得直線BF的方程為y=kx+a，且

         ②

由已知，設P（x₁,y₁）、Q（x₂,y₂）,則它們的坐標滿足方程組

               ③

由方程組③消去y，并整理得

.     ④

由①、②和④，

 

由方程組③消去x，并整理得

  ⑤

由式②和⑤，

 

綜上，得到

。

注意到,得