Question

某個QQ群中有n名同學(xué)在玩一個數(shù)字哈哈鏡游戲，這些同學(xué)依次編號為1，2，…，n．在哈哈鏡中，
每個同學(xué)看到的像用數(shù)對（p，q）（p＜q）表示，規(guī)則如下：若編號為k的同學(xué)看到像為（p，q），則編號為k+1的同學(xué)看到像為（q，r），且q-p=k（p，q，r∈N^*）．已知編號為1的同學(xué)看到的像為（5，6）．
（Ⅰ）請根據(jù)以上規(guī)律分別寫出編號為2和3的同學(xué)看到的像；
（Ⅱ）求編號為n的同學(xué)看到的像．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意規(guī)律，編號為2的同學(xué)看到的像是（6，8）；編號為3的同學(xué)看到的像是（8，11）．
（Ⅱ）設(shè)編號為n的同學(xué)看到的像是（b_n，a_n），則b₁=5，a₁=6，當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=a_n-1．由此結(jié)合題意可知編號為n的同學(xué)看到的像是(

n2-n+10

2

， 

n2+n+10

2

)．

解答：解：（Ⅰ）由題意規(guī)律，編號為2的同學(xué)看到的像是（6，8）；
編號為3的同學(xué)看到的像是（8，11）．
（Ⅱ）設(shè)編號為n的同學(xué)看到的像是（b_n，a_n），則b₁=5，a₁=6，
當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=a_n-1．
由題意a_n-b_n=n，∴a_n-a_n-1=n（n≥2）．
∴a_n-a₁=（a₂-a₁）+（a₃-a₂）++（a_n-a_n-1）=2+3++n=

(n-1)(2+n)

2

．
an=

(n-1)(2+n)

2

 +6=

n2+n+10

2

，bn=an-n=

n2-n+10

2

．
經(jīng)檢驗(yàn)n=1時(shí)，上式也成立．
∴編號為n的同學(xué)看到的像是(

n2-n+10

2

， 

n2+n+10

2

)．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用，解題時(shí)要注意歸納能力的培養(yǎng)．