Question

已知橢圓上兩點P、Q在x軸上的射影分別為橢圓的左、右焦點，且P、Q兩點的連線的斜率為．
（1）求橢圓的離心率e的大小；
（2）若以PQ為直徑的圓與直線x+y+6=0相切，求橢圓C的標準方程；
（3）設點M（0，3）在橢圓內部，若橢圓C上的點到點M的最遠距離不大于，求橢圓C的短軸長的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設點（-c，-y₀），Q（c，y₀），其中y₀＞0，∵點P在橢圓C上，
∴，，，
∴，
從而，解得（舍去）．
（2）由（1）知，，
∴以PQ為直徑的圓的方程為．
∵該圓與直線x+y+6=0相切，∴．
∴橢圓的標準方程為．
（3）由（1）知，，故橢圓方程為在橢圓內部，
∴b＞3．
設N（x，y）為橢圓上任意一點，則MN²=x²+（y-3）²=-（y+3）²+2b²+18，其中-b≤y≤b．∵b＞3，
∴-b＜-3，∴當y=-3時，MN²取得最大值2b²+18．
依題意：，∴MN²≤50，∴2b²+18≤50，∴0＜b≤4，又b＞3，∴3＜b≤4，即6＜2b≤8．
∴橢圓C的短軸長的取值范圍是（6，8]．
分析：（1）先設出P、Q兩點的坐標，利用P、Q在x軸上的射影分別為橢圓的左、右焦點，且P、Q兩點的連線的斜率為．即可求橢圓的離心率e的大小；
（2）先求出以PQ為直徑的圓的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑求出b值即可求橢圓C的標準方程；
（3）先利用點M（0，3）在橢圓內部求出b的一個范圍，再利用兩點間的距離公式以及最遠距離不大于，求出b的另一個范圍，兩個相綜合可得橢圓C的短軸長的取值范圍．
點評：本題是對圓與橢圓知識的綜合考查．當直線與圓相切時，可以利用圓心到直線的距離等于半徑求解，也可以把直線與圓的方程聯立讓對應方程的判別式為0求解．本題用的是方法一．