Question

節假日自駕游成為時尚，為了確保交通安全，在一個交通擁擠及事故易發生路段，交通部門規定，在此路段內的車速v（單位：km/h）的平方和車身長l（單位：m）的乘積與車距d成正比，且最小車距不得少于半個車身長．假定車身長均為l（單位：m）且當車速為50（km/h）時，車距恰為車身長，問交通繁忙時，應規定怎樣的車速，才能使在此路段的車流量Q最大？（車流量=

車速

車距+車身長

）

Answer 1

分析：根據車距d是車速v（千米/小時）的平方與車身長l（米）之積的正比例函數，可假設函數解析式．利用車速為50千米/小時，車距恰為車身長．可求d關于v的解析式，從而可得車流量關于v的函數，利用基本不等式可求最值．

解答：解：∵車距d是車速V（公里/小時）的平方與車身長S（米）積的正比例函數，設d=Kv²l，
∵V=50時，d=l，得s=K×50²×l，∴K=

1

2500

∴d=

1

2500

v2l，
又d=

1

2

l時，v=25

2

∴當0＜v≤25

2

時，車距d等于車身長的一半，∴d=

1

2

l，
當v＞25

2

時，車距d=

1

2500

v2，
則有

d= 1 2500 v2l(v＞25 2 ) 1 2 l，(0＜v≤25 2 )

，
則Q=

1000v

d+l

=

1000v l(1+ v2 2500 ) (v＞25 2 ) 1000v 3l 2 (v≤25 2 )

顯然當v≤25

2

時，Q是關于v的增函數，
∴當v=25

2

時，Q=

2000v

3l

，∴Qmax=

50000 2

3l

當v＞25

2

時，Q=

1000v

d+l

=

1000v

l(1+ v2 2500 )

=

1000

l( 1 v + v 2500 )

≤

1000

l•2 1 v • v 2500

=

25000

l

當且僅當v=50時，上式等號成立．
綜上所述，當且僅當v=50（km/h）時，車流量Q取得最大值．

點評：本題的考點是根據實際問題選擇函數類型．主要考查利用待定系數法求函數解析式，同時考查利用基本不等式求函數的最值，關鍵是將實際問題轉化為數學問題．屬于中檔題．