Question

已知△ABC的三個內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且a=2，b=3，tanA+tanB=

3

-

3

tanAtanB．
（Ⅰ）求tan（A+B）的值；
（Ⅱ）求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（I）將已知的等式變形得tanA+tanB=

3

（1-tanAtanB），利用兩角和與差的正切公式化簡tan（A+B），代入前面的等式即可求出tan（A+B）的值；
（II）由tan（A+B）的值結合三角形內角的范圍，求出A+B的度數，得出C=

π

3

，結合a=2且b=3利用正弦定理的三角形面積公式，即可求出三角形ABC的面積．

解答：解：（I）∵tanA+tanB=

3

-

3

tanAtanB=

3

（1-tanAtanB）
∴由兩角和的正切公式，可得
tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=

3 (1-tanAtanB)

1-tanAtanB

=

3

；
（II）由（I）及A和B都為三角形的內角，得到A+B=

π

3

，
∴C=π-（A+B）=

2π

3

，
因此，△ABC的面積S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×2×3×

3

2

=

3 3

2

．

點評：本題給出三角形的兩條邊長和角A、B的正切之間的關系，求三角形的面積．考查了兩角和與差的正切函數公式、余弦定理、三角形的面積公式和特殊角的三角函數值等知識，屬于中檔題．