Question

已知數列滿足：，

（I）求的值；

（II）設，試求數列的通項公式；

（III）   對任意的正整數，試討論與的大小關系.

Answer 1

解：（Ⅰ）∵ ，，，，

∴ ；；.   ………………3分

（Ⅱ）由題設，對于任意的正整數，都有：，

∴ .∴ 數列是以為首項，為公差的等差數列.

∴ .       …………………………………………………………6分

（Ⅲ）對于任意的正整數，

當或時，；

當時，；

當時，.      ……………………………………8分

證明如下：

首先，由可知時，；

其次，對于任意的正整數，

時，；

…………………9分

時，

所以，.                                                  …………………10分

時，

事實上，我們可以證明：對于任意正整數，（*）（證明見后），所以，此時，.

綜上可知：結論得證.                                                          

對于任意正整數，（*）的證明如下：

1）當（）時，

，

滿足（＊）式。

2）當時，，滿足（＊）式。

3）當時，

于是，只須證明，如此遞推，可歸結為1）或2）的情形，于是（＊）得證.                                                                           …………………12分