Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為平行四邊形，且AB=1，BC=2，，E、F分別為AD、BC的中點．
（I）求證：EF∥面PCD；
（II）求證：AC⊥平面PAB．

Answer 1

【答案】分析：（I）要證：EF∥面PCD，只需證明EF∥CD即可；
（II）要證：AC⊥平面PAB，只需證明AC⊥PA，AC⊥AB，即可．
解答：證明：（I）因為在平行四邊形ABCD中，
E、F分別為AD、BC的中點，
所以ED=FC，ED∥FC，
從而EFCD為平行四邊形，所以EF∥CD，
又因為EF不在平面PCD，CD?平面PCD
所以EF∥平面PCD．
（II）因為PA⊥底面ABCD，AC?平面ABCD，故PA⊥AC．
在△ABC中，AB=1，BC=2，∠ABC=．
由余弦定理得AC=
故AB²+AC²=BC²，∴AB⊥AC
而PA∩AB=A且AB，PA?平面PAB，∴AC⊥平面PAB
點評：本題考查直線與平面平行，直線與平面垂直，考查學生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．