Question

下列說法正確的是（　　）

• A．存在α∈[0，

  π

  2

  ]使sinα+cosα=

  1

  3

• B．y=tanx在其定義域內為增函數
• C．y=cos2x+sin（

  π

  2

  -x）既有最大、最小值，又是偶函數
• D．y=sin|2x+

  π

  6

  |最小正周期為π

Answer 1

分析：用分析法可得A不正確．通過舉反例來可得B不正確．化簡函數的解析式為2(cosx+

1

4

)2-

9

8

，可得C正確．根據y=sin|2x+

π

6

|最小正周期為

1

2

×

2π

2

=

π

2

，可得D不正確．

解答：解：要使使sinα+cosα=

1

3

，只要 1+2sinαcosα=

1

9

，即 sinαcosα=-

4

9

，
故α不可能滿足α∈[0，

π

2

]，故A不正確．
由于當x=0 時，tanx=0，當 x=π 時，也有tanx=0，π＞0，故y=tanx在其定義域內不是增函數，故B不正確．
由于y=cos2x+sin（

π

2

-x）=2cos²x-1+cosx=2(cosx+

1

4

)2-

9

8

，由于cosx為偶函數，故函數y為偶函數．
當cosx=1時，y取得最大值為

25

8

，當cosx=-

1

4

時，y取得最小值為-

9

8

，故C正確．
由于y=sin|2x+

π

6

|最小正周期為

1

2

×

2π

2

=

π

2

，故D不正確，
故選C．

點評：本題主要考查三角函數的圖象和性質，通過舉反例來說明某個命題不正確，是一種簡單有效的方法，屬于中檔題．