Question

湖北省第十四屆運動會紀念章委托某專營店銷售，每枚進價5元，同時每銷售一枚這種紀念章需向荊州籌委會交特許經營管理費2元，預計這種紀念章以每枚20元的價格銷售時該店一年可銷售2000枚，經過市場調研發現每枚紀念章的銷售價格在每枚20元的基礎上每減少一元則增加銷售400枚，而每增加一元則減少銷售100枚，現設每枚紀念章的銷售價格為元，為整數.

(1)寫出該專營店一年內銷售這種紀念章所獲利潤(元)與每枚紀念章的銷售價格(元)的函數關系式(并寫出這個函數的定義域)；

(2)當每枚紀念章銷售價格為多少元時，該特許專營店一年內利潤(元)最大，并求出最大值．

 

Answer 1

（1），定義域為

（2）當時，該特許專營店獲得的利潤最大為32400元.

【解析】

試題分析：此題主要考查學生對函數模型在實際問題中應用的能力.（1）在此類問題中要注意單價與銷售量之間的相關關系，同時要注意單價價格的取值范圍，必要時要進行分段列式，再根據題意求解；（2）經審題實際問題是求函數的最大值，由（1）可知函數是分段函數，所以要在自變量的各區間中求出最大值，進行比較，從而求出函數的最大值，再還原回實際問題的解.

試題解析：（1）依題意

∴，

定義域為 6分

（2）∵，]

∴ 當時，則，(元)

當時，則或24，(元)

綜上：當時，該特許專營店獲得的利潤最大為32400元. 13分

考點：1.實際問題中的函數建模；2.分段函數的最值；3.二次函數的最值.