Question

【題目】將棋盤的每個(gè)方格都隨意染黑白兩色之一，每次操作是將其中同行、同列、同對(duì)角線的連續(xù)五個(gè)方格改變成相反的顏色.試問(wèn)：能否經(jīng)過(guò)有限次操作，使得所有方格的顏色都變成與原先相反的顏色？

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

當(dāng)時(shí)，目標(biāo)可以實(shí)現(xiàn)；當(dāng)時(shí)，目標(biāo)不可以實(shí)現(xiàn).

（1）如果，可由5是質(zhì)數(shù)，不妨設(shè)，則棋盤可劃分為若干個(gè)的矩形，對(duì)每一個(gè)的矩形操作一次即可.

（2）如果，可設(shè)，（、）.

將棋盤的方格用1、2、3、4、5編號(hào)，使每一行每一列的數(shù)都構(gòu)成周期為5的周期數(shù)列，其左上角棋盤的編號(hào)如圖.

因?yàn)閳D中每行、每列的數(shù)都是以5為周期的周期數(shù)列，所以，同行、同列、同對(duì)角線的連續(xù)5個(gè)數(shù)都恰好包含1、2、3、4、5各1個(gè).故每次操作都使每一類編號(hào)的方格中恰有一個(gè)方格改變了一次顏色.

用表示編號(hào)為的方格顏色改變的次數(shù)和（），則每次操作，各同時(shí)增加1，于是，操作中恒有.

若所有方格的顏色都變成與原先顏色相反，則每個(gè)方格顏色改變的次數(shù)為奇數(shù).

考察棋盤左上角子棋盤的編號(hào)，對(duì)任何、（、），在子棋盤中一定存在一個(gè)編號(hào)與一個(gè)編號(hào)（、），使得出現(xiàn)的次數(shù)比出現(xiàn)的次數(shù)多一次（逐一驗(yàn)證子棋盤即可）.

去掉此子棋盤，則棋盤的剩余部分各編號(hào)出現(xiàn)的次數(shù)相等.于是，整個(gè)棋盤中編號(hào)、的個(gè)數(shù)一個(gè)為奇數(shù)、一個(gè)為偶數(shù).由于每個(gè)方格都改變奇數(shù)次顏色，從而，、一個(gè)為奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和、一個(gè)為偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和，也即、一為奇數(shù)、一為偶數(shù).于是，，矛盾.

故不可能所有方格的顏色都變成與原先相反的顏色.