Question

已知雙曲線中心在原點(diǎn)，一個焦點(diǎn)為F₁（-

5

，0），點(diǎn)P在雙曲線上，且線段PF₁的中點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），則此雙曲線的方程是

 

，離心率是

 

．

Answer 1

分析：設(shè)出雙曲線的方程，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出p的坐標(biāo)，將其坐標(biāo)代入雙曲線的方程，通過a，b，c的關(guān)系列出另一個等式，解兩個方程得到a，b的值．即可求解雙曲線方程以及雙曲線的離心率．

解答：解：據(jù)已知條件中的焦點(diǎn)坐標(biāo)判斷出焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1
∵一個焦點(diǎn)為（-

5

，0）
∴a²+b²=5①
∵線段PF₁的中點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），
∴P的坐標(biāo)為（

5

，4）將其代入雙曲線的方程得

5

a2

-

16

b2

=1 ②
解①②得a²=1，b²=4，
所以雙曲線的方程為x₂-

y2

4

=1．
雙曲線的離心率為：e=

c

a

=

5

．
故答案為：x₂-

y2

4

=1；

5

．

點(diǎn)評：求圓錐曲線常用的方法：待定系數(shù)法、注意雙曲線中三參數(shù)的關(guān)系為：c²=b²+a²．考查計算能力．