Question

2010年上海世博會某國要建一座八邊形的展館區，它的主體造型的平面圖是由二個相同的矩形ABCD和EFGH構成的面積為200 m²的十字型地域，計劃在正方形MNPQ上建一座“觀景花壇”，造價為4200元/m²，在四個相同的矩形上（圖中陰影部分）鋪花崗巖地坪，造價為210元/m²，再在四個空角（如△DQH等）上鋪草坪，造價為80元/m²．
（1）設總造價為S元，AD長為xm，試建立S與x的函數關系；
（2）當x為何值時，S最小？并求這個最小值．

Answer 1

解：（1）設DQ=y，又AD=x，則x²+4xy=200，∴，
∴S=4200x²+210•4xy+80•2y²=．
（2），
當且僅當，即時，S_min=118000元．
分析：（1）先設DQ=y，又AD=x，根據由二個相同的矩形ABCD和EFGH構成的面積為200 m²的十字型地域得出y的函數表達式，最后建立建立S與x的函數關系即得；
（2）利用基本不等式求出（1）中函數S的最小值，并求得當x取何值時，函數S的最小值即可．
點評：本小題主要函數模型的選擇與應用、基本不等式等基礎知識，考查運算求解能力．屬于基礎題．解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數學符號，建立數學模型；（3）利用數學的方法，得到數學結果；（4）轉譯成具體問題作出解答，其中關鍵是建立數學模型．