Question

已知函數(shù)f（x）=4x²-4mx+m²-2m+2的圖象與x軸有兩個交點
（1）設(shè)兩個交點的橫坐標分別為x₁，x₂，試判斷函數(shù)g（m）=x₁²+x₂²有沒有最大值或最小值，并說明理由．
（2）若f（x）=4x²-4mx+m²-2m+2與g（x）=

m

x

在區(qū)間[2，3]上都是減函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f（x）圖象與x軸有兩個交點可得m的范圍，由韋達定理可得x₁+x₂=m，x₁x₂=

m2-2m+2

4

，從而g（m）可表示為m的函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可判斷其最值情況；
（2）由題意可得：

m＞0 m＞1 - -4m 2×4 ≥3

，解出即可；

解答：解：由△=16m²-16（m²-2m+2）＞0，得m＞1，
（1）∵x₁+x₂=m，x₁x₂=

m2-2m+2

4

，
∴g（m）=x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=m2-

m2-2m+2

2

=

(m+1)2-3

2

，
∵m＞1，∴g（m）沒有最大值，也沒有最小值；
（2）．依題意得：

m＞0 m＞1 - -4m 2×4 ≥3

，解得m≥6．
所以實數(shù)m的取值范圍為：m≥6．

點評：本題考查二次函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，深刻理解“三個二次”間的關(guān)系是解決該類問題的基礎(chǔ)．