Question

已知函數f（x）=x³-2ax²+3x
（1）若f（x）在x∈[1，+∞]上是增函數，求實數a的取值范圍；
（2）若x=a是f（x）的極值點，求f（x）在[-2，a]上的最小值和最大值．

Answer 1

分析：（1）f（x）=x³-2ax²+3x在x∈[1，+∞]上是增函數，即f'（x）=3x²-4ax+3≥0在[1，+∞]恒成立，由此構造不等式，結合基本不等式可得實數a的取值范圍；
（2）若x=a是f（x）的極值點，則f'（a）=0，求出a值，分類討論f（x）在[-2，a]上的最小值和最大值可得答案．

解答：解：（1）∵f（x）=x³-2ax²+3x在x∈[1，+∞]上是增函數
∴f'（x）=3x²-4ax+3≥0
∴a≤

3

4

(x+

1

x

)在[1，+∞]恒成立
∴a≤[

3

4

(x+

1

x

)]min
∵

3

4

(x+

1

x

)≥

3

2

，當x=1時等號成立
∴a≤

3

2

…．（6分）
（2）由題可知f'（a）=3a²-4a²+3=0
∴a=±

3

當a=

3

時，x∈[-2，

3

]
f′(x)=3x2-4

3

x+3=3(x-

3

)(x-

3

3

)
此時 由f'（x）＞0可得-2≤x＜

3

3

；
由f'（x）＜0可得

3

3

＜x＜

3

，
所以函數f（x）的單調遞增區間為[-2，

3

3

)，
函數f（x）的單調遞增區間為(

3

3

，

3

)
又∵f(-2)=-14-8

3

，f(

3

)=0
極小值為f(

3

3

)=

4 3

9

函數f（x）的函數f（x）的最小值為 -14-8

3

函數f（x）的函數f（x）的最大值為

4 3

9

…．（11分）
當a=-

3

時，x∈[-2，-

3

]
f′(x)=3x2+4

3

x+3=3(x+

3

)(x+

3

3

)
此時 由f'（x）≥0，
∴f（x）在[-2，-

3

]上為增函數，
∴f(x)min=f(-2)=-14+8

3

∴f(x)max=f(-

3

)=0…．（13分）

點評：本題考查的知識點是利用導數研究函數的單調性，利用導數求函數的最值，基本不等式，熟練掌握導函數符號與原函數單調性之間的關系，是解答的關鍵．