Question

已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在軸上，離心率．

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)求的角平分線所在直線的方程；

(Ⅲ)在橢圓上是否存在關(guān)于直線對稱的相異兩點(diǎn)？

若存在，請找出；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（3）不存在滿足題設(shè)條件的點(diǎn)B和C.

【解析】有關(guān)解析幾何的問題，常常涉及曲線的方程，此時往往要注意利用有關(guān)曲線的定義來解決，同時還會涉及直線與有關(guān)曲線的交點(diǎn)問題，在處理過程中往往需要結(jié)合二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系解決

（I）設(shè)橢圓E的方程為，

將A（2，3）代入上式，得

∴橢圓E的方程為

（II）解法1：由（I）知，所以直線AF1的方程為：直線AF2的方程為：由點(diǎn)A在橢圓E上的位置知，直線l的斜率為正數(shù).設(shè)上任一點(diǎn)，則

若（因其斜率為負(fù)，舍去）.

所以直線l的方程為：

解法2：

（III）解法1：

假設(shè)存在這樣的兩個不同的點(diǎn)

由于M在l上，故        ①

又B，C在橢圓上，所以有兩式相減，得

即將該式寫為，并將直線BC的斜率和線段BC的中點(diǎn)，表示代入該表達(dá)式中，得     ②

①×2—②得，即BC的中點(diǎn)為點(diǎn)A，而這是不可能的.

∴不存在滿足題設(shè)條件的點(diǎn)B和C.

解法2：假設(shè)存在，則

得一元二次方程則是該方程的兩個根，由韋達(dá)定理得于是∴B，C的中點(diǎn)坐標(biāo)為又線段BC的中點(diǎn)在直線

即B，C的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），與點(diǎn)A重合，矛盾.∴不存在滿足題設(shè)條件的相異兩點(diǎn).